Descrever sobre teoria de conjuntos, exemplos e aplicações.
Diante do objetivo do relatório, apresentaremos nas próximas subseções os pontos a serem discutidos:
Experimento aleatório;
Conjunto;
Espaço amostral;
Evento;
Operações com conjuntos;
Probabilidade;
Breve Conclusão.
A cada experimento aleatório está associado o resultado obtido, que não é previsível, chamado evento aleatório.
Exemplos:
lançamento de uma moeda honesta;
lançamento de um dado;
No exemplo a os eventos associados são cara (C) e coroa (K);
No exemplo b poderá ocorrer uma das faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
População: é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma variável comum e observável. Podemos falar em:
• população dos alunos do primeiro período de uma faculdade;
• população dos operários da indústria automobilística;
• população de alturas em cm das pessoas de determinado bairro;
• população de peças fabricadas numa linha de produção, e assim por diante.
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do experimento. Os elementos do espaço amostral serão chamados também de pontos amostrais. Representaremos o espaço amostral por Ω.
Exemplos:
Ω = {C, k}
Ω ={l, 2, 3, 4, 5, 6}
Ω ={(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}
Ω = {t ∈ IR; t ≥ O}
O evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou uma reunião deles, como veremos no exemplo a seguir:
Lançam - se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais;
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;
C: saída de faces cuja son1a seja menor que 2;
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15;
E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra.
Os eventos pedidos são:
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
C = ∅ (evento impossível)
D = Ω (evento certo)
E= {(l, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (6, 3)}
Uma outra maneira de determinar o espaço amostral desse experimento é usar o diagrama ern árvore:
Sejam A e B dois eventos de F(Ω). As seguintes operações são definidas:
É a função P que associa a cada evento de F um número real pertencente ao intervalo [O, 1], satisfazendo os axiomas:
Observamos pela definição que \(0 \leq P(A) \leq 1\) para todo evento \(A\), \(A \subseteq \Omega\).
Apartir daqui vamos dar enfase aos exemplos:
Introduziremos a noção de probabilidade condicional através do seguinte exemplo:
Exemplo 1
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos, 100 são homens (H) e 150 são mulheres (1\1); 11 O cursam física (F) e 140 cursam quí1nica (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?
Pelo quadro, vemos que essa probabilidade é de \(\frac{80}{150}\) e representamos:
\[ P(Q / M) = \frac{80}{150} \quad \text{(probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser mulher).} \]
Observamos, porém, que \(P(M \cap Q) = \frac{80}{250}\) e \(P(M) = \frac{150}{250}\). Para obtermos o resultado do problema, basta considerar que:
\[ P(Q / M) = \frac{80}{150} = \frac{250}{150} \cdot \frac{80}{250} \]
Logo:
\[ P(Q / M) = \frac{P(M \cap Q)}{P(M)} \]
Sejam \(A \subseteq \Omega\) e \(B \subseteq \Omega\). Definimos a \((A / B)\) como segue:
\[ P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{se } P(B) \neq 0 \]
Também:
\[ P(B / A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}, \quad \text{se } P(A) \neq 0 \]
Sejam \(A_1, A_2, \dots, A_n\) eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja \(B\) um evento desse espaço. Então, temos:
\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B \mid A_i) \]
Exemplo 2
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
Resolução:
A bola branca pode ocorrer: $ B = (B | I) (B | II) $
P(B) = P(B | I) + P(B | II)
\[ P(B) = P(I) \cdot P(B | I) + P(II) \cdot P(B | II) \]
Calculando,
\[ P(B | I) = \frac{3}{5}, \quad P(B | II) = \frac{4}{6} \]
Portanto,
\[ P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} \]
Sejam A_1, A_2, , A_n eventos que formam uma partição do espaço. Seja B um evento. Sejam conhecidas P(A_i) e P(B | A_i) , para i = 1, 2, , n . Então:
\[ P(A_i | B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B | A_j)}. \]
É também chamado de teorema da probabilidade a posteriori. Ele relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total.
Exemplo 3
A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento?
Resolução:
Queremos: P(C | V)
Utilizando a fórmula da probabilidade total:
\[ P(V) = P(C) \cdot P(V | C) + P(K) \cdot P(V | K). \]
Calculando,
\[ P(V) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{10} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10}. \]
Agora, calculamos P(C | V) :
\[ P(C | V) = \frac{P(V | C) \cdot P(C)}{P(V)}. \]
Responda as seguintes questões a seguir, relacionadas a probabilidade:
Exemplo 4:
Resolução
Tudo começa com a pessoa D dizendo que as pessoas C, B e A falaram a verdade. Portanto, vamos calcular a probabilidade condicional de que a pessoa A falou a verdade na certeza que D disse a verdade, assim:
\[ P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} \] onde:
\[ P(A \cap D) = \frac{1}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81} = \frac{13}{81} \]
\[ P(D) = \frac{1}{81} + 6\cdot \frac{4}{81} + \frac{16}{81} = \frac{41}{81} \]
(Faça o diagrama de árvore, para simplificar o entendimento)
As probabilidades (1) e (2) são encontradas pelo diagrama de árvore, daí:
\[ P(A\cap D) = \frac{13}{81} \cdot \frac{81}{41} = \frac{13}{41} \approx 31,7\% \]
Exemplo 5:
Suponha que um dos descendentes seja Aa, qual é a probabilidade de que o progenitor masculino seja AA?
Suponha que dois descendentes sejam ambos Aa, qual é a probabilidade de que o progenitor masculino seja AA?
Se uma prole é aa, qual a probabilidade de que o progenitor masculino seja Aa?
Resolução
Queremos encontrar a probabilidade condicional de que o progenitor seja AA dado que o descendente seja Aa.
Teorema de Bayes
\[ P(\text{AA}|\text{Aa}) = \frac{P(\text{Aa}|\text{AA}) \cdot P(\text{AA})}{P(\text{Aa})} \]
Como o progenitor é AA ou Aa. Assim, temos que:
\[ P(\text{AA}) = P(\text{Aa}) = \frac{1}{2} \]
Agora, podemos calcular \(P(\text{Aa})\) da seguinte forma:
\[ P(\text{Aa}) = P(\text{Aa}|\text{AA}) \cdot P(\text{AA}) + P(\text{Aa}|\text{Aa}) \cdot P(\text{Aa}) \]
onde:
\[ P(\text{Aa}|\text{AA}) = 1 \quad \text{e} \quad P(\text{Aa}|\text{Aa}) = \frac{1}{2} \]
Assim, temos:
\[ P(\text{Aa}) = \frac{1 \cdot 1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{3}{4} \]
Dessa forma:
\[ P(\text{AA}|\text{Aa}) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \]
2.3) Dado que \(B = \bigcup_{j=1}^{n} B_j\), com \(B_1, B_2, \dots, B_n\) mutuamente disjuntos, e que \(P(A | B_j) = p\) para todo \(j = 1, 2, \dots, n\), vamos demonstrar que \(P(A | B) = p\).
Passo 1: Teorema da probabilidade total
Sabemos que: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Onde \(B = \bigcup_{j=1}^{n} B_j\), ou seja, \(B\) é a união dos eventos mutuamente disjuntos \(B_1, B_2, \dots, B_n\). Logo, podemos escrever: \[ P(A \cap B) = P\left( A \cap \bigcup_{j=1}^{n} B_j \right) \] Como os eventos \(B_j\) são mutuamente disjuntos, isso implica que: \[ P(A \cap B) = \sum_{j=1}^{n} P(A \cap B_j) \]
Passo 2: Aplicando a definição de probabilidade condicional
Sabemos que \(P(A \cap B_j) = P(A | B_j) \cdot P(B_j)\). Substituindo na equação anterior: \[ P(A \cap B) = \sum_{j=1}^{n} P(A | B_j) \cdot P(B_j) \]
Passo 3: Substituindo \(P(A | B_j) = p\)
Pelo enunciado, sabemos que \(P(A | B_j) = p\) para todo \(j\). Portanto, a equação fica: \[ P(A \cap B) = \sum_{j=1}^{n} p \cdot P(B_j) \] Fatorando \(p\) da soma: \[ P(A \cap B) = p \cdot \sum_{j=1}^{n} P(B_j) \]
Passo 4: Usando a probabilidade total de \(B\)
Sabemos que \(\sum_{j=1}^{n} P(B_j) = P\left( \bigcup_{j=1}^{n} B_j \right) = P(B)\). Assim, temos: \[ P(A \cap B) = p \cdot P(B) \]
Passo 5: Substituindo na fórmula original de \(P(A | B)\)
Agora, podemos substituir \(P(A \cap B) = p \cdot P(B)\) na fórmula de \(P(A | B)\): \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{p \cdot P(B)}{P(B)} = p \]
Portanto, mostramos que \(P(A | B) = p\).
Morettin, Luiz Gonzaga Estatística básica : probabilidade e inferência, volume único I Luiz Gonzaga Morettin. – São Paulo : Pearson Prentice Hall, 201 O.