1.1 - Conceitos Fundamentais

A probabilidade é um conceito fundamental na estatística. A definição clássica de probabilidade é baseada no número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.

1.2 - Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de um evento $A$ dado que o evento $B$ ocorreu é calculada como:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

1.3 - Inferência Estatística

A inferência estatística envolve o uso de dados de amostra para fazer inferências sobre uma população. Existem dois tipos principais de inferência: estimativa e teste de hipóteses.

1.4 - Estimativa

A estimativa envolve o uso de dados amostrais para calcular estimativas pontuais ou intervalares de parâmetros populacionais. Por exemplo, a média amostral é uma estimativa pontual da média populacional.

1.5 -Teste de Hipóteses

O teste de hipóteses é uma metodologia para tomar decisões baseadas em dados amostrais. Um teste de hipóteses típico envolve a formulação de uma hipótese nula ($H_0$) e uma hipótese alternativa ($H_1$), e o cálculo de um valor $p$ para determinar se $H_0$ deve ser rejeitada.

4.1 - Distribuição Normal

A distribuição normal, também conhecida como distribuição Gaussiana, é uma das distribuições mais importantes na estatística. A função densidade de probabilidade da distribuição normal é dada por:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$$

onde $\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância.

4.2 - Propriedades da Distribuição Normal

• A distribuição normal é simétrica em torno de sua média $\mu$.
• A variância $\sigma^2$ controla a dispersão da distribuição.
• Aproximadamente 68% dos valores estão dentro de um desvio-padrão da média, e 95% estão dentro de dois desvios-padrão.

4.3 - Intervalos de Confiança

Um intervalo de confiança fornece uma estimativa para um parâmetro populacional com um grau de confiança especificado. O intervalo de confiança para a média populacional $\mu$, com variância conhecida $\sigma^2$, é dado por:

$$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

onde $\bar{x}$ é a média amostral, $n$ é o tamanho da amostra, e $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança $\alpha$.

4.4 - Teste de Hipóteses

No teste de hipóteses, formulamos uma hipótese nula $H_0$ e uma hipótese alternativa $H_1$, e usamos dados amostrais para decidir se devemos rejeitar $H_0$. O processo envolve a escolha de uma estatística de teste, a definição de uma região crítica e o cálculo de um valor $p$.

4.5 - Erro Tipo I e Tipo II

• O erro tipo I ocorre quando rejeitamos a hipótese nula $H_0$ quando ela é verdadeira.
• O erro tipo II ocorre quando não rejeitamos $H_0$ quando ela é falsa. A probabilidade de erro tipo I é chamada de nível de significância, geralmente denotada por $\alpha$.

4.6 - Regressão Linear

A regressão linear é uma técnica utilizada para modelar a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma ou mais variáveis independentes $X$. O modelo de regressão linear simples é dado por:

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$$

onde $\beta_0$ é o intercepto, $\beta_1$ é o coeficiente de regressão e $\epsilon$ é o termo de erro.