Demonstrar o TLC;
E mostrar por meio de um exemplo, a Distribuição de Poisson se aproximando da distribuição NOrmal. (Uma simulação com 10.000 amostras, de tamanho de amostras distintos, gerando seus respectivos gráficos. Mostrando assim por meio deste relatório como uma distribuição de Poisson, pode ser convertida em uma distribuição Normal, confirmando o TLC).
Para efetuarmos a aproxiinação da distribuição binomia, poison, … pela distribuição normal, usaremos um resultado bastante importante, o teorema do limite central, que será demonstrado.
Para efetuarmos a aproxiinação da distribuição binomia, poison, … pela distribuição normal, usaremos um resultado bastante importante, o teorema do limite central, que será demonstrado.
Sejam \(X_1, X_2, \dots, X_n\) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com esperança \(\mu = \mathbb{E}(X_i)\) e variância \(\sigma^2 = \text{Var}(X_i)\). Definimos a soma padronizada como
\[ S_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu). \]
Então, \(S_n\) converge em distribuição para uma variável aleatória \(N(0, 1)\), ou seja:
\[ \lim_{n \to \infty} P\left(S_n \leq x\right) = P\left(Z \leq x\right), \quad \text{onde} \ Z \sim N(0, 1). \]
Vamos provar usando a função geradora de momentos e a expansão em série de Taylor.
A função geradora de momentos \(M_X(t)\) de uma variável aleatória \(X\) é definida como:
\[ M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right]. \]
Para a soma \(S_n\), a função geradora de momentos é dada por:
\[ M_{S_n}(t) = \mathbb{E}\left[e^{tS_n}\right]. \]
Como \(S_n\) é uma soma de variáveis i.i.d., podemos usar a propriedade de soma das funções geradoras de momentos:
\[ M_{S_n}(t) = \left[ M_{X_i - \mu}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \right]^n. \]
Agora, expandimos \(M_X(t)\) em série de Taylor em torno de \(t = 0\):
\[ M_X(t) = 1 + \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} + O(t^3). \]
Substituindo isso na expressão de \(M_{S_n}(t)\), temos:
\[ M_{S_n}(t) = \left( 1 + 0 \cdot \frac{t}{\sqrt{n}} + \frac{\sigma^2}{2} \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^2 + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \right)^n. \]
Usando a expressão acima, reescrevemos \(M_{S_n}(t)\) para \(n\) grande:
\[ M_{S_n}(t) \approx \left( 1 + \frac{\sigma^2 t^2}{2n} \right)^n. \]
Quando \(n \to \infty\), aplicamos o limite exponencial:
\[ \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \to e^a. \]
Assim, temos:
\[ M_{S_n}(t) \to e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}. \]
Essa é a função geradora de momentos de uma variável normal \(N(0, \sigma^2)\).
Como a função geradora de momentos de \(S_n\) converge para a função geradora de momentos de uma variável normal \(N(0, \sigma^2)\), pelo Teorema da Continuidade de Lévy, a distribuição de \(S_n\) converge para \(N(0, \sigma^2)\). Portanto, ao padronizar \(S_n\) (dividindo por \(\sigma\)), obtemos a convergência para a distribuição normal padrão \(N(0, 1)\), o que completa a prova do Teorema do Limite Central.
Lança-se uma moeda 20 vezes. Qual a probabilidade de se obter de uma a cinco caras, usando: a) distribuição binomial;
X: Número de caras X : B(20, 1\2)
(0.5)^1 (0.5)^{19} + (0.5)^2 (0.5)^{18} + (0.5)^3 (0.5)^{17} + (0.5)^4 (0.5)^{16} + (0.5)^5 (0.5)^{15} ] = 0.00002 + 0.00018 + 0.00109 + 0.00462 + 0.01479 = 0.0207
Se \(X : B \left( 20, \frac{1}{2} \right)\), então \(\mu = np = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\)
\[ \sigma^2 = npq = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \]
e
\[ \sigma = \sqrt{5} = 2,24 \quad \therefore \]
Queremos calcular \(P(1 \leq X \leq 5)\).
Usando a correção de continuidade:
\[ P(1 \leq X \leq 5) \approx P(0,5 \leq X \leq 5,5) = P(-4,24 \leq Z \leq -2,01) \]
\[ = 0,5 - 0,477784 = \boxed{0,022216} \]
O erro é de \(0,001516\), mas no caso, \(n = 20\) (pequeno) e também a probabilidade está tabelada.
Logo, para \(n\) grande a aproximação será realmente boa.
Fizemos uma simulação com 10.000 amostras, o tamanho das amostras foram 01, 05, 50 e 5000, respectivamente.
Melhorar o texto abaixo:
(Essas 10.000 amostras são os 10.000 elementos do meu conjunto, minha matriz, os tamanhos são as quantidades de elementos, por linha, as amostras de cada subconjunto, tamanho 01 gera o próprio conjunto, o gráfico não modifica, fica o próprio gráfico Poisson, a medida que aumentamos o tamanho das amostras 05, 50, 5000, … o gráfio se aproxima de sua distribuição normal, cumprindo assim o TLC).
Utilizamos o seguinte código: (Logo abaixo iremos apresentar o resultado deste código, que são os gráficos da nossa simulação)
#simulação eficiente
par(mfrow = c(2,2))
for(n in c(1, 5, 50, 5000)){
# matrix (k, n)
k <- 10000
set.seed(10) # semente de simulação
x <- rpois(n, lambda = 20.5)
mat <- matrix(x, k, n)
#calcular as médias
xbar <- apply(mat, 1, mean)
# hist
hist(xbar, main = paste0("n = ", n))
}O código acima nos fornece os 4 gráficos da nossa simulação, com 10.000 amostras, de tamanhos 01, 05, 50 e 5000, respectivamente.
CHUNG, Kai Lai. A course in probability theory. Elsevier, 2000.